Statistikk og intuisjon.

Forestill deg at du er med i et gameshow på tv. Du står overfor tre stengte luker. Bak en av lukene ligger en gevinst. De to andre er tomme. Velger du rett, er gevinsten din, velger du feil, får du ingenting. Du gjør ditt valg, hvorpå programlederen åpner en av de gjenstående lukene og viser at den er tom. Hva ville du ha gjort -- stått ved ditt opprinnelige valg eller benyttet muligheten til å bytte luke?

Du burde i alle fall bytte. Magnus Jiborn, som presenterte nøtten i Filosofiske rummet, forklarer løsningen på denne måten:

Sannolikheten för att deltagaren valde rätt från början är 1/3, och sannolikheten för att vinsten finns bakom en av de återstående dörrarna således 2/3. Efter att tävlingsledaren öppnat en av de återstående dörrarna är sannolikheten för att det första dörrvalet var rätt fortfarande 1/3, och således är sannolikheten för att vinsten finns bakom den av de två återstående dörrarna som deltagaren inte valde 2/3. Alltså vinner man på att byta.

Mange lyttere protesterte. Stilles ikke deltakeren overfor to valg her? I det første tilfellet må han velge en av tre luker. Da har han naturligvis 1/3 sjanse å treffe rett. Men denne sannsynligheten på 33% kan da umulig påvirke sannsynligheten i neste valgrunde -- "eftersom det är ett helt nytt val med nya förutsättningar". I andre runde er jo antallet luker redusert til to. Sannsynligheten for å velge rett må derfor være fifty/fifty. Altså vinner man ingenting på å bytte.

Feilen er at det slett ikke er et nytt valg med helt nye forutsetninger. Hadde programlederen åpnet en av de tomme lukene før vi bestemte oss, hadde valget vært hipp som happ. Og det samme hvis en ny deltaker (som ikke ante noe om første valgrunde) skulle stå for valget i runde to: Vedkommende hadde hatt 50% sjanse for å velge luken med gevinst. Men vi vet at "vår" luke ikke kunne åpnes fordi vi hadde valgt den. Sant nok: hvis det faktisk er der gevinsten befinner seg, hadde programlederen aldri åpnet luken uansett -- men vi vet altså at det ikke er mer enn 33% sjanse for at så er tilfellet.

Dette kan være vanskelig å begripe eller -- hvis man begriper det -- akseptere. "Även jag svarade att det inte finns något skäl att byta när jag första gången hörde talas om problemet, och reagerade med misstro när jag fick höra svaret: 'Det måste vara fel'," var Jiborn reaksjon:

Själva poängen med att jag tog upp exemplet är att nästan alla svarar på detta sätt och att våra intuitioner när det gäller sannolikheter således inte verkar vara att lita på [....] Det tycks finnas systematiska fel i hur vi tänker när det gäller sannolikheter, vilket är en av de saker som Daniel Kahneman kartlägger i den utmärkta och mycket läsvärda boken "Thinking, Fast and Slow" som jag berättade om i programmet.

Jeg skal ikke avvise at det eksisterer systematiske misforståelser i folks tenkning omkring statistikk (jeg har ikke lest Kahnemans bok; han har sikkert statistikk som tyder på det), men lurer på om ikke intuisjonen fører oss vill i akkurat dette tilfellet fordi gameshowet er konstruert nettopp for å villede på denne måten. Jeg både forstår og aksepterer det matematiske beviset her -- likevel må jeg, hver eneste gang jeg forsøker å sette meg selv inn i situasjonen, så å si overtale meg selv til å bytte luke. Det er som med visse optiske illusjoner. Jeg vet at de lange linjene i dette bildet er parallelle -- likevel greier ikke å se det på dem. Jeg har målt også, og ført bevis for meg selv, uten at det hjelper.

Illusjonen sier naturligvis interessante ting om synet vårt. Ikke at synet generelt er upålitelig; ei heller at våre øyne systematisk har problemer med å oppfatte parallelle linjer som parallelle. Men illusjonen demonstrerer at våre øyne av og til kan bedra oss på denne måten.

Kanskje er det også dét gameshow-eksemplet viser -- ikke at intuisjonen systematisk fører folk vill i sannsynlighetsspørsmål, men at den av og til gjør det? I akkurat dette tilfellet skyldes kanskje problemene at det statistiske materialet er for smått. Var antallet luker noe større, mistenker jeg at mange, foruten å forstå matematikken, også intuitivt ville se poenget. Sett at du ikke skulle velge en av tre, men en av hundre luker. Prinsippene er for øvrig de samme, det er kun sannsynlighetsverdiene som er nye. Sannsynligheten for å ta rett første gang er ikke lenger 1/3, men 1/100 eller én prosent. At programlederen åpner én tom luke, er nærmest ubetydelig, skjønt statistisk sett øker du også nå vinnersjansene ved å bytte. Men hvis programlederen, som i det opprinnelige eksemplet, åpnet alle lukene og lot bare to stå igjen, den du valgte (og dermed satte ut av spill) og én til -- ville du da ha valgt å bytte?